Ceros De Una Función Polinomial

- Los ceros de una función polinomial son las soluciones de la ecuación f(x)=0.

- Coinciden con las abscisas de los puntos de intersección de la representación gráfica de la función con el eje de abscisas.

- La ecuación an x^n + ....+ a1 x + a0 = 0  tiene como máximo n soluciones reales.

- Si a0 , a1, ... an son números enteros existe un procedimiento bastante simple para hallar los ceros enteros.


- Si tenemos f(x) = anxn + an-1xn-1 + .........+ a1x1 + a0 (a0  0) una función polinomial de grado n con coeficientes enteros, y si p/q en su mínima expresión es una raíz racional de f(x) = 0, entonces p es factor de a0 y q es factor de an.

- Existen muchos métodos para encontrar los ceros irracionales de una función polinomial, estos métodos nos determinan los ceros por medio de procesos de aproximación, de tal forma que se puede encontrar los ceros con la exactitud que se desee. Uno de ellos es el de aproximaciones sucesivas, en donde primero se localiza el cero entre enteros consecutivos, luego entre décimos consecutivos y luego entre centésimos consecutivos. Para utilizar este método es indispensable el uso de la calculadora.

Comportamiento Funciones Polinomiales

Funciones polinomiales más usuales :

n=0 , f(x)= a0  Función lineal constante

n=1 , f(x)= a1+a0 Función lineal

n=2 , f(x)= a2 x^2 + a1 x+ a0  Función cuadrática

Si n es mayor que 2 e impar f(x) = an x^n

Si n es mayor que 2 y par f(x)= an x^n

f(x)= ax^n si n es mayor que 2 e impar y a es mayor que 0 se trata de una función continua creciente con dominio desde - infinito hasta + infinito al igual que la imagen.


f(x)= ax^n si n es mayor que 2 , impar y a es menor que 0 se trata de una función continua decreciente con dominio desde - infinito hasta  + infinito al igual que la imagen.


f(x)= ax^n si n es mayor que 2 , par y a es mayor que 0 se trata de una función continua con mínimo en f(0)=0 , dominio desde - infinito hasta + infinito e imagen desde 0 hasta + infinito.

f(x)= ax^n si n es mayor que 2 , par y a es menor que 0 se trata de una función continua con máximo en f(0)=0  , dominio desde - infinito hasta + infinito , imagen desde - infinito hasta 0.


Cuanto mayor es el grado de la función más plana es la función.

Funciones Polinomiales

Una función polinomial es una función de la forma :

f(x)=an*x^n+an-1x^n-1+...+a2*x^2+a1*x+a0 donde a0, a1, ... , an son números reales y n son números enteros mayores o iguales que 0.

Los números reales a0 , a1 , ... , an son los coeficientes y n se denomina el grado de la función polinomial.

Ejemplo : f(x)=x^5 -2x^4 -4x^3 +4x^2 -5x +6

Esta función es de grado 5 y posee 6 coeficientes que de menor a mayor grado son 6 , -5 , 4 , -4 , -2 y 1.

Ceros De Funciones

Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f(x)=0 .

Ejemplo: Calcular los ceros de la función f (x) = 2x -4
f(x)=2x-4 ; f(x)=0 ; 2x-4=0 ; 2x=4 ; x=4/2 = 2
Esta función tiene un 0 en x = 2

Los ceros de una función f coinciden con la abscisa del punto de intersección de la representación gráfica de la función con el eje de abscisas .

Las funciones lineales no tienen ningún cero ( funciones contantes ) o tienen exactamente un cero ( funciones lineales no constantes).

Las funciones cuadráticas pueden tener cero, uno o dos ceros.

Funciones Lineales

- Dos puntos del plano determinan una única recta.
- La pendiente de una recta determina la inclinación de la recta.
- La pendiente y un punto determinan la recta .
- Todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Las funciones de la forma f(x)= mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen son números reales se llaman funciones lineales.

Ejemplos:

f(x) = x^2 - 1 no es lineal.
f(x) = 3        m=0 , b=3

Cuando m es igual a 0 se trata de una función lineal constante.

La forma más sencilla de representar una función lineal es mediante una tabla de valores.
Todas las funciones lineales su representación es una línea recta.

Todas las rectas menos las verticales son funciones lineales . La expresión explicita de la recta da la expresión funcional de la recta.

Función inversa de una función lineal :

Si m es distinta de 0 la función inversa de la función lineal f(x) = mx+b es la función f^-1 (x) = 1/m x -b/m.

Propiedades de las funciones lineales.

Dominio ( -infinito,  infinito)
Imagen (- infinito, infinito)   si m es distinta de 0 y {b} si m = 0
Biyectivas si m es  distinta de 0
Continuas
Crecientes si m es mayor que 0 y decrecientes si m es menor que 0.

Comportamiento General De Una Función

Funciones crecientes, decrecientes y constantes.

Funciones crecientes : Se dice que una función definida en un intervalo I es creciente si dados los valores A y B del intervalo de manera A sea menor que B la imagen de A será menor que la imagen de B.

Funciones decrecientes: Se dice que una función definida en un intervalo I es decreciente si dados los valores A y B del intervalo de manera que A sea menor que B la imagen de A será mayor que la imagen de B.

Función constante : Se dice que una función definida en un intervalo I es constante si dados los valores A y B del intervalo de manera que A sea igual que B para todos los puntos del intervalo I.

Máximos y Mínimos de una función.

Si f es una función con f(a) = b :

Decimos que f tiene un mínimo local en el punto (a,f(a)) si y solo si existe un intervalo abierto I que contiene a tal que f(a) sea menor o igual que f(x) paro todo el intervalo I.

Decimos que f tiene un máximo local en el punto (a,f(a)) si y solo si existe un intervalo abierto I que contiene a tal que f(a) sea mayor o igual que f(x) paro todo el intervalo I.

f(a) = b es el mínimo absoluto de f si b es menor o igual que f (x) para todo x del dominio  f.

f(a) = b es el máximo absoluto de f si b es mayor o igual que f (x) para todo x del dominio  f.


Función Continua :

Informalmente una función f es continua si no  contiene ni "saltos" ni "agujeros".

Transformaciones: desplazamientos , reflexiones y escalado.

Desplazamiento vertical:

Si K perteneciente a R es un valor real entonces la función f que se obtiene de sumar este valor k a la función original se llama un desplazamiento vertical .

Si k es mayor que 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k es menor que 0 el desplazamiento es hacia bajo.

Desplazamiento horizontal :

En este caso la función g se puede obtener a la función de f sumando a la variable x el valor h.

Si h es mayor que 0 el desplazamiento es hacia la izquierda y si h es menor que 0 el desplazamiento es hacia la derecha.

Desplazamiento : Si aplicamos un desplazamiento (h,k) a la función f(x), obtenemos la función         g(x)=f(x+h)+k.

Reflexión horizontal:

La función g(x)=-f(x) se obtiene por reflexión de la función f(x) a lo largo del eje de abcisas.

Reflexión vertical:


La función g(x)=f(-x) se obtiene por reflexión de la función f(x) a lo largo del eje de ordenadas.


Escalado vertical : 

La función g(x)=af(x), a es mayor que 0 produce un escalado vertical de la función f(x).

Si a es mayor que 1 se obtiene una dilatación vertical de la función.
Si a esta comprendida entre 0 y 1 se obtiene una compresión vertical de la función.


Escalado horizontal:

La función f(bx)=af(x), b es mayor que 0 produce un escalado horizontal de la función f(x).

Si b es mayor que 0 se obtiene una compresión horizontal de la función .
Si b esta comprendida  entre 0 y 1 se produce una dilatación horizontal de la función.

La Función Inversa

Mi quinta hora empleada en el open course ha sido dedicada a las funciones inversas.

Funciones Biyectivas : Una función definida en un dominio D con imagen en el conjunto I es biyectiva si exactamente un elemento del dominio D se corresponde con cada elemento de la imagen I. De forma equivalente si f (x) = f (y) entonces x=y.

Ejemplos:

f(x)= 2x-1  f(x)=f(y)  2x-1=2y-1 , 2x=2y , x=y .  Biyectiva
f(x)=x^2    f(x)=f(y)   x^2= y^2     x=y o x= -y    No es Biyectiva

Test De La Línea Horizontal :
Un conjunto de puntos del plano representan una función biyectiva si y solo si cada línea horizontal intercepta como máximo un punto del conjunto.

La Función  Inversa :

Una función definida en un dominio D con imagen en el conjunto I  es biyectiva entonces podemos definir una nueva función g que estará definida en la imagen de la función anterior y cuya imagen será el dominio de la función anterior.
La función que se obtiene invirtiendo los puntos de la función se llama la función inversa.
La inversa de una función f se denota por f^-1.

Ejemplos:

f(x)=2x-1    2x-1=y,   x= y+1/2,   f^-1= x+1/2
f(x)=x^2      No es biyectiva no podemos hallar su inversa.


Representación Gráfica De Una Función:

Las gráficas  de una función f y de su inversa f^-1 son simétricas respecto a la diagonal del primer y tercer cuadrante.